Xét tứ giác ABCD có E,M,F,N,G lần lượt là trđ AD , AB , BC , DC và AC
EG là đường tb ∆ADC => EG = DC/2 (t/c)
FG là đường tb ∆ABC => FG = AB/2 (t/c)
=> EG + FG = (AB+CD)/2
Mà EG + FG ≥ EF
=> EF = (AB + CD)/2 <=> AB // CD (1)
Tương tự
MN = (AD + BC)/2 <=> AD // BC (2)
Từ (1) và (2)
=> EF + MN = (AB+AD+BC+CD)/2 <=> AB // CD , AD // BC
Hay tổng EF và MN bằng nửa chu vi tứ giác ABCD <=> ABCD là hbh
Nói cách khác : Nếu tổng độ dài 2 đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện của 1 tứ giác bằng 1 nửa chu vi của tứ giác đó thì tứ giác đó là hình bình hành.
Chú thích :
/ phần
. nhân
// song song
∆ tam giác
hbh hình bình hành
