Ta có
$n^2 - n - 5 = n^2 - 3n + 2n - 6 + 1$
$= n(n-3) + 2(n-3) +1$
$= (n+2)(n-3) + 1$
Dễ thấy rằng $(n+2)(n-3)$ chia hết cho $n-3$. Vậy để đa thức ban đầu chia hết cho $n-3$ thì $1$ phải chia hết cho $n-3$, suy ra
$n - 3 \in Ư(1) = \{-1, 1\}$
$\Leftrightarrow n \in \{2, 4\}$.
Vậy $n \in \{2, 4\}$.