Đáp án:
$6^{1991} + 9^{1991}$ chia $11$ dư $4$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$6 \equiv - 5 \pmod{11}$
$\to 6^{1991} \equiv (-5)^{1991} \pmod{11}$
Ta lại có:
$(-5)^{1991} = (-5)^{1990}.(-5)$
$(-5)^{10}\equiv 1 \pmod{11}$
$\to [(-5)^{10}]^{199}\equiv 1 \pmod{11}$
$\to (-5)^{1990} \equiv 1 \pmod{11}$
$\to (-5)^{1990}.(-5) \equiv -5 \pmod{11}$
$\to (-5)^{1991} \equiv -5\pmod{11}$
hay $6^{1991}\equiv - 5 \pmod{11}$
Tương tự, ta được:
$9 \equiv - 2 \pmod{11}$
$\to 9^{1991} \equiv (-2)^{1991} \pmod{11}$
Ta lại có:
$(-2)^{10} \equiv 1 \pmod{11}$
$\to (-2)^{1990}\equiv 1 \pmod{11}$
$\to (-2)^{1990}.(-2)\equiv -2\pmod{11}$
$\to (-2)^{1991}\equiv - 2 \pmod{11}$
hay $9^{1991}\equiv - 2 \mod{11}$
Do đó:
$6^{1991} + 9^{1991}\equiv - 7 \pmod{11}$
hay $6^{1991} + 9^{1991}\equiv 4\pmod{11}$
