a) Ta có:
$ABCD$ là hình bình hành $(gt)$
$AC\cap BD = \left\{O\right\}$
$\Rightarrow OA = OC = \dfrac{1}{2}AC; \, OB = OD = \dfrac{1}{2}BD$ (định lý 3)
Ta lại có:
$OM = MD = \dfrac{1}{2}OD\quad (gt)$
$ON = NB = \dfrac{1}{2}OB \quad (gt)$
Do đó $OM = ON = MD = NB$
Xét tứ giác $AMCN$ có:
$AC\cap MN = \left\{O\right\}$
$OM = ON \quad (cmt)$
$OA = OC$ (định lý 3)
Do đó $AMCN$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ năm)
b) Ta có: $AMCN$ là hình bình hành (câu a)
$\Rightarrow AM//CN$
$\Rightarrow AE//CF$
Xét tứ giác $AECF$ có:
$AE//CF \quad (cmt)$
$AF//CE \quad (AB//CD)$
Do đó $AECF$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ nhất)
$\Rightarrow AC, EF$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (định lý 3)
Ta lại có: $O$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow O$ là trung điểm $EF$
hay $E,F$ đối xứng nhau qua $O$
c) Ta có: $AE//CF$
$\Rightarrow ME//CN$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{DM}{DN} = \dfrac{DE}{DC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{DE}{DC}$
$\Leftrightarrow DC = 2DE$
