$6x^{2}$ + $19y^{2}$ + 24x - 2y + 12xy - 725 = 0
→ ($6x^{2}$ + 12xy + $6y^{2}$) + 24x - 2y + $13y^{2}$ - 725 = 0
→ 6$(x + y)^{2}$ + 24x + 24y + 24 + ($13y^{2}$ - 26y + 13) - 762 = 0
→ 6($(x + y)^{2}$ + 4(x + y) + 4) + 13(y^{2}$ - 2y + 1) = 762
→ 6$(x + y + 4)^{2}$ + 13$(y - 1)^{2}$ = 762
Do $\left \{ {{6(x + y + 2)^{2} ⋮ 6 } \atop {762 ⋮ 6}} \right.$ nên:
⇒ 13$(y - 1)^{2}$ ⋮ 6 hay: $(y - 1)^{2}$ ⋮ 6
Mà: $(y - 1)^{2}$ là số chính phương.
Lại có: 13$(y - 1)^{2}$ ≤ 762 ⇒ $(y - 1)^{2}$ ≤ 58,615 ≈ 59
Do đó: $(y - 1)^{2}$ = 36
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y - 1 = 6\\y - 1 =-6\end{array} \right.\)
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}y = 7 \\y =-5\end{array} \right.\)
TH1: Với y = 7 thì ta có: 6$(x + 7 + 2)^{2}$ + 13$(7 - 1)^{2}$ = 762
⇔ 6$(x + 9)^{2}$ + 13 . $6^{2}$ = 762
⇔ 6$(x + 9)^{2}$ + 468 = 762 ⇔ 6$(x + 9)^{2}$ = 294
⇔ $(x + 9)^{2}$ = 49
⇒\(\left[ \begin{array}{l}x + 9= 7\\x + 9 =-7\end{array} \right.\)
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x= -2\\x=-16\end{array} \right.\)
TH2: Với y = 5 thì ta có: 6$(x + -5 + 2)^{2}$ + 13$(-5 - 1)^{2}$ = 762
⇔ 6$(x - 3)^{2}$ + 13 . $(-6)^{2}$ = 762
⇔ 6$(x - 3)^{2}$ + 468 = 762 ⇔ 6$(x - 3)^{2}$ = 294
⇒ $(x - 3)^{2}$ = 49
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x - 3=7\\x - 3 =-7\end{array} \right.\)
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=10\\x=-4\end{array} \right.\)
Vậy phương trình trên đã cho nghiệm (x,y) ∈ {(-2 ; 7) ; (- 16 ; 7) ; (10 ; -5) ; (-4 ; -5)}
