Đáp án:
GTLN của $P$ là $\dfrac{2019}{14}$ đạt đc khi $b = 2a$.
Giải thích các bước giải:
Ta thấy hso $y = ax^2 + bx + 2020$ đồng biến trên $\left( -\dfrac{b}{2a}, +\infty \right)$ nên để hso đồng biến trên $(-1, +\infty)$ thì ta phải có
$-\dfrac{b}{2a} \leq -1$
$\Leftrightarrow \dfrac{b}{2a} \geq 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{b}{a} \geq 2$
Để tìm GTLN của $P$ ta sẽ tìm GTNN của $\dfrac{1}{P}$. Ta có
$\dfrac{1}{P} = \dfrac{6a^2 + 2ab + b^2}{2019a^2}$
$= \dfrac{b^2}{2019a^2} + \dfrac{2b}{2019a} + \dfrac{6}{2019}$
$= \dfrac{1}{2019} . \left( \dfrac{b}{a} \right)^2 + \dfrac{2}{2019} . \dfrac{b}{a} + \dfrac{6}{2019}$
Đặt $t = \dfrac{b}{a}$, khi đó, theo đk ban đầu ta có $t \geq 2$ và tìm GTNN của hso
$y = \dfrac{1}{2019} t^2 + \dfrac{2}{2019} t + \dfrac{6}{2019}$
Ta có hệ số của $t^2$ lớn hơn 0, do đó hso đồng biến trên $(-1, + \infty)$, do đó GTNN của hso trên $[2, +\infty)$ là tại $t = 2$. Do đó GTNN của hso $\dfrac{1}{P}$ là
$y(2) = \dfrac{14}{2019}$
Suy ra GTLN của $P$ là $\dfrac{2019}{14}$ đạt đc khi $b = 2a$.
