Ta có :
$\dfrac{a+b-c}{c}$ = $\dfrac{a-b+c}{b}$ = $\dfrac{-a+b+c}{c}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta có :
$\dfrac{a+b-c}{c}$ = $\dfrac{a-b+c}{b}$ = $\dfrac{-a+b+c}{c}$ = $\dfrac{(a+b-c) + (a-b+c) + (-a+b+c ) }{a + b + c}$ = $\dfrac{(b - b + b) + ( a + a - a ) + ( -c + c + c}{a+bc}$ = $\dfrac{a+b+c}{a+b+c}$
Xét `2` trường hợp của phân số $\dfrac{a+b+c}{a+b+c}$ .
Trường hợp `1 :`
Với `a + b + c = 0`
`=> a + b = − c ; b + c = − a ; a + c = − b`
`=>` $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
`=` $\dfrac{-(a.b.c)}{a.b.cb}$ `= -1`
Trường hợp `2 :`
$\dfrac{a+b-c}{c}$ `=` $\dfrac{a-b+c}{b}$ `=` $\dfrac{-a+b+c}{c}$ `=` $\dfrac{a+b+c}{a+b+c}$ `= 1`
`=>` $\dfrac{a+b-c}{c}$ `= 1 ;` $\dfrac{a-b+c}{b}$ `= 1 ;` $\dfrac{-a+b+c}{a}$ `= 1`
`=> a + b - c = c ; a - b + c = b ; -a + b + c = a`
`=> a + b = 2c ; a + c = 2b ; b + c = 2a`
Thay `a + b = 2c ; a + c = 2b ; b + c = 2a` vào $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ . Ta có :
$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ `=` $\dfrac{2a . 2b . 2c}{abc}$ `= 2 . 2 . 2 = 8`
Vậy $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ `= -1` hoặc $\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ `= 8`
