Xét $∆BDE$ có:
$DM = ME =\dfrac12DE\quad (gt)$
$BN = NE=\dfrac12BE\quad (gt)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN // BD;\, MN =\dfrac12BD$
Chứng minh tương tự, ta được:
$PQ$ là đường trung bình của $BCD$
$\Rightarrow PQ //BD;\, PQ =\dfrac12BD$
$\Rightarrow MN \mathop{=}\limits^{//} PQ$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình hành hành $(1)$
Ta lại có:
$MQ$ là đường trung bình trong $∆CDE$
$\Rightarrow MQ//CE$
$\Rightarrow MQ//AC$
mà $MN//AB\quad (MN//BD)$
$AC\perp AB \quad (∆ABC$ vuông tại $A)$
nên $MQ\perp MN$
$\Rightarrow \widehat{M}=90^\qquad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow MP = NQ$
