$\begin{array}{l}3a)\,\,\sqrt{2\dfrac79\cdot5\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{1}{100}}\\
= \sqrt{\dfrac{25}{9}\cdot\dfrac{81}{16}\cdot\dfrac{1}{100}}\\
= \dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{9}{4}\cdot\dfrac{1}{10}\\
= \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\\
= \dfrac{3}{8}\\
b)\,\,(\sqrt2 + 2\sqrt3 - \sqrt8)\sqrt2 - \sqrt{24}\\
= (1 + \sqrt6 - 2).2 - 2\sqrt6\\
= 2(\sqrt6 - 1 - \sqrt6)\\
= 2.(-1) = -2\\
14a)\,\,M = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x - 1} -\dfrac{2\sqrt x - 1}{x - \sqrt x}\qquad (x >0;\, x \ne 1)\\
\to M = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x - 1} - \dfrac{2\sqrt x - 1}{\sqrt x(\sqrt x - 1)}\\
\to M = \dfrac{x - (2\sqrt x - 1)}{\sqrt x(\sqrt x - 1)}\\
\to M = \dfrac{x - 2\sqrt x + 1}{\sqrt x(\sqrt x - 1)}\\
\to M = \dfrac{(\sqrt x - 1)^2}{\sqrt x(\sqrt x - 1)}\\
\to M = \dfrac{\sqrt x - 1}{\sqrt x}\\
b)\,\,M = -2\\
\to \dfrac{\sqrt x - 1}{\sqrt x} = -2\\
\to \sqrt x - 1 = -2\sqrt x\\
\to 3\sqrt x = 1\\
\to \sqrt x = \dfrac13\\
\to x = \dfrac19\\\end{array}$

$15)$ Ta có: $BC = HB + HC$

$\to HC = BC - HB = 8 - 2 = 6\, cm$

a) Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$+) \quad AB^2 = HB.BC = 2.8 = 16$

$\to AB = \sqrt{16} = 4\, cm$

$+) \quad AC^2 = HC.BC = 6.8 = 48$

$\to AC = \sqrt{48} = 4\sqrt3\, cm$

$+) \quad AH^2 = HB.HC = 2.6 = 12$

$\to AH = \sqrt{12} = 2\sqrt3\, cm$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔABD$ vuông tại $A$ đường cao $AK$ ta được:

$AB^2 = BK.BD$

Ta lại có:

$AB^2 = BH.BC$ (câu a)

Do đó:

$BD.BK = BH.BC$ (đpcm)

$\begin{array}{l}16)\,\,\sqrt{a^2 + b^2} \geq \dfrac{a+b}{\sqrt2}\qquad (a;b\geq 0)\\ \to a^2 + b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}\\ \to 2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2\\ \to a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\\ \to (a-b)^2 \geq 0 \quad \text{(luôn đúng)}\\ Vậy\,\,\sqrt{a^2 + b^2} \geq \dfrac{a+b}{\sqrt2} \quad \forall a;b \geq 0\end{array}$