Đáp án:
$\min A\left(\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz}\right) = 16 \Leftrightarrow (x;y;z) = \left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}\text{Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được:}\\ \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} \geq \dfrac{(1+ 1)^2}{xy + yz} = \dfrac{4}{xy + yz}\\ \text{Ta lại có:}\\ xy + yz = y(x + z) \leq y(1 - y)\\ \to xy + yz \leq -y^2 + y\\ \to xy + yz \leq -\left(y - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{4}\\ \to xy + yz \leq \dfrac{1}{4}\\ \text{Ta được:}\\ \dfrac{4}{xy + yz} \geq \dfrac{4}{\dfrac{1}{4}} = 16\\ \to \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} \geq 16\\ \text{Dấu = xảy ra}\,\,\Leftrightarrow \begin{cases}xy = yz\\y = \dfrac12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = \dfrac{1}{4}\\y= \dfrac{1}{2}\\z = \dfrac{1}{4}\end{cases}\\ Vậy\,\,\min A\left(\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz}\right) = 16 \Leftrightarrow (x;y;z) = \left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\end{array}$
