$∆HOB$ vuông tại $H$ và $∆KOC$ vuông tại $K$ có:
$\widehat{HBO}=\widehat{KCO}\quad (\widehat{ABO}=\widehat{ACO}:\,gt)$
$\Rightarrow \widehat{HOB}=\widehat{KOC}\quad (1)$
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $OB,OC$
Xét $∆HOB$ vuông tại $H$ có:
$E$ là trung điểm cạnh huyền $OB$
$\Rightarrow EO = EH = EB$
$\Rightarrow ∆EOH$ cân tại $E$
$\Rightarrow \widehat{HEO}=180^o-2\widehat{EOH}\quad (2)$
Xét $∆KOC$ vuông tại $K$ có:
$F$ là trung điểm cạnh huyền $OC$
$\Rightarrow FO = FK = FC$
$\Rightarrow ∆FOK$ cân tại $F$
$\Rightarrow \widehat{KFO}=180^o - 2\widehat{FOK}\quad (3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{HEO} =\widehat{KFO}$
Mặt khác:
$∆OBC$ có: $M,E,F$ lần lượt là trung điểm $BC,OB,OC$
$\Rightarrow OEMF$ là hình bình hành
$\Rightarrow \begin{cases}OE = MF\\OF=ME\\\widehat{OEM}=\widehat{OFM}\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}HE = MF\\KF=ME\\\widehat{HEO} + \widehat{OEM}=\widehat{KFO}+\widehat{OFM}\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{HEM}=\widehat{KFM}$
Xét $∆HEM$ và $∆MFK$ có:
$HE = MF\quad (cmt)$
$ME = KF\quad (cmt)$
$\widehat{HEM}=\widehat{KFM}\quad (cmt)$
Do đó $∆HEM=∆MFK\, (c.g.c)$
$\Rightarrow MH = MK$
$\Rightarrow ∆MHK$ cân tại $M$
