Đáp án:

$\begin{cases}a = -57\\b = 90\end{cases}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}1)\quad \text{Thực hiện phép chia $f(x)$ cho $g(x)$ ta được:}\\\begin{array}{lcl}
3x^3 \quad +2x^2 \quad +8x\quad -5& \Big| & x^{2} \quad - 4x \quad+ 2 \\
3x^3\,\,\, - 12x^2\quad + 6x& \Big| & \overline{3x\quad +14\qquad\quad} \\
\overline{\,\,\qquad\quad14x^2 \quad + 2x\quad -5}& \Big| &\\
\qquad \quad\,\, 14x^2\quad -56x\,\,\, +28&\Big|&\\
\qquad \qquad \overline{\qquad \quad\,\,58x\,\,\, -33}&\Big|&\\
\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow f(x) = g(x).(3x + 14) + 58x -33$

$\Rightarrow f(x)\quad \not\vdots\quad g(x)$

2) Ta có: $g(x) = (x-2)(x-3)$

Gọi $r$ là phần dư của phép chia $f(x)$ cho $g(x)$

$\to f(x) \quad \vdots \quad g(x) \Leftrightarrow r = 0$

Áp dụng định lý Bézout ta được:

$\quad\begin{cases}r = f(2)\\r = f(3)\end{cases}$

$\to \begin{cases}3.2^3 + a.2 + b = 0\\3.3^3 + a.3 + b = 0\end{cases}$

$\to \begin{cases}2a + b = -24\\3a + b = -81\end{cases}$

$\to \begin{cases}a = -57\\b = 90\end{cases}$

2) Ta có: $g\left(x\right)=x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)$

Để f (x) chia hết cho g (x) thì  $\hept{\begin{matrix}f\left(x\right)⋮\left(x-2\right)\\f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\end{matrix}}$

$\Rightarrow \hept{\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(3\right)=0\end{matrix}}$

$\Rightarrow \hept{\begin{matrix}24+2a+b=0\\81+3a+b=0\end{matrix}}$

$\Rightarrow \hept{\begin{matrix}57+a=0\\24+2a+b=0\end{matrix}}$

$\Rightarrow \hept{\begin{matrix}a=-57\\24+2.\left(-57\right)+b=0\end{matrix}}$

$\Rightarrow \hept{\begin{matrix}a=-57\\b=0-24-2.\left(-57\right)=90\end{matrix}}$