Đáp án:
168) $V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{3a^3\sqrt3}{8}$
169) $\dfrac{V_{O.A'B'C'}}{V_{O.ABC}} = \dfrac{1}{24}$
170) $ V_{A.MNP} = 2\, cm^3$
Giải thích các bước giải:
168) Goi $M$ là trung điểm $B'C'$
$\Rightarrow A'M\perp B'C';\quad A'M = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Gọi $N$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow MN\perp (ABC);\quad A'N\perp BC$
$\Rightarrow \widehat{((A'BC);(BB'C'C))} = \widehat{A'NM} = 30^o$
$\Rightarrow MN =\dfrac{A'M}{\tan30^o} = \dfrac{3a}{2}$
Ta được:
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.MN = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2} = \dfrac{3a^3\sqrt3}{8}$
169) Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích của hình chóp tam giác, ta có:
$\dfrac{V_{O.A'B'C'}}{V_{O.ABC}} = \dfrac{OA'}{OA}\cdot\dfrac{OB'}{OB}\cdot\dfrac{OC'}{OC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{24}$
170) Ta có:
$M,N,P$ là trung điểm $SA,SB,SC$
$\Rightarrow \dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}= \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow V_{S.MNP} = \dfrac{1}{8}V_{S.ABC} = \dfrac{1}{8}\cdot 16 = 2\,cm^3$
Ta lại có:
$M$ là trung điểm $SA$
$\Rightarrow d(S;(MNP))= d(A;(MNP))$
$\Rightarrow \dfrac{1}{3}S_{MNP}.d(S;(MNP)) = \dfrac{1}{3}S_{MNP}.d(A;(MNP))$
$\Rightarrow V_{S.MNP} = V_{A.MNP} = 2\, cm^3$
