Câu 13:
$y = - x^3 + 3x - 1$
$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$
$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}y = \mp \infty$
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
$+) \quad y' = -3x^2 + 3$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 1\end{array}\right.$
- Hàm số đồng biến trên $(-1;1)$
- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$
$+) \quad \text{Bảng biến thiên:}$
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & & &1& & & +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& &+ & & 0 & & - &\\
\hline
&+\infty&&&&&&1\\
y & &\searrow& &&\nearrow & && &\searrow\\
&&&-3&&&&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$
- Hàm số đạt cực đại tại $x = 1;\, y_{CĐ} = 1$
- Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1;\, y_{CT} = -3$
$+) \quad y'' = -6x$
$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0$
- Đồ thị hàm số có điểm uốn $U(0;-1)$
$+) \quad \text{Đồ thị:}$
Ta có bảng giá trị:
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x &-2&-1&0&1&2\\
\hline
y&1&-3&-1&1&-3\\
\hline
\end{array}$
$+) \quad \text{Kết luận:}$
Đồ thị nhận điểm uốn $U(0;-1)$ làm tâm đối xứng
Câu 14:
$(C): y =f(x)= 2x^3 - 4x + 1$
$\to y' = f'(x) = 6x^2 - 4$
Phương trình tiếp tiếp của $(C)$ tại điểm $M(x_o;y_o)$ có dạng:
$(\Delta): y = f'(x_o)(x- x_o) + y_o$
Ta có:
$k = f'(x_o) = 2$
$\to 6x_o^2 - 4 = 2$
$\to x_o^2 = 1$
$\to \left[\begin{array}{l}x_o = 1 \longrightarrow y_o = -1\\x_o =-1\longrightarrow y_o = 3\end{array}\right.$
+) Phương trình tiếp tuyến tại $M_1(1;-1):$
$(\Delta_1): y = 2(x-1) - 1$
$\to y = 2x - 3$
+) Phương trình tiếp tuyến tại $M_2(-1;3):$
$(\Delta_2): y = 2(x+1) + 3$
$\to y = 2x + 5$
Câu 15:
Ta có:
$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.(2a)^2.a\sqrt3 = \dfrac{4a^3\sqrt3}{3}$
Câu 16:
a) Ta có:
$ΔABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow AB = AC.\tan\widehat{C} = b.\tan60^o = b\sqrt3$
Mặt khác:
$AA'\perp (ABC)$ (lăng trụ đứng)
$\Rightarrow AA'\perp AB$
mà $AB\perp AC$
nên $AB\perp (AA'C)$
hay $AB\perp (AA'C'C)$
$\Rightarrow \widehat{(BC';(AA'C'C))} = \widehat{BC'A} = 30^o$
$\Rightarrow AC' = \dfrac{AC}{\tan\widehat{BC'A}}= \dfrac{b\sqrt3}{\tan30^o} = 3b$
b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$CC'^2 = AC^2 + AC'^2$
$\Rightarrow CC' = \sqrt{AC^2 + AC'^2} = \sqrt{b^2 + 9b^2} = b\sqrt{10}$
Do đó:
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.CC' = \dfrac{1}{2}AC.AB.CC' = \dfrac{1}{2}.b.b\sqrt3.b\sqrt{10} = \dfrac{b^3\sqrt{30}}{2}$
