a) Ta có:

$AB:AC = 1:\sqrt3$

Đặt $AB = x;\, AC = x\sqrt3 \quad (x >0)$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\to BC^2 = x^2 + 3x^2 = 4x^2$

$\to BC = 2x$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:

$+)\quad AB^2 = HB.BC$

$\to HB =\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{x^2}{2x}=\dfrac x2$

$+)\quad AC^2 = HC.BC$

$\to HC =\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{3x^2}{2x}=\dfrac 32x$

Ta có:

$HC - HB = 8$

$\to \dfrac 32x -\dfrac x2 = 8$

$\to x = 8$

$\to \begin{cases}AB = 8\, cm\\AC = 8\sqrt3\, cm\\BC = 16\, cm\end{cases}$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:

$AH^2 = AE.AB$

$AH^2 = AF.AC$

$\to AE.AB = AF.AC$

$\to \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}$

c) Sửa đề

$\dfrac{1}{HE^2}+\dfrac{1}{HF^2}=\dfrac{1}{HB^2}+\dfrac{1}{HC^2} +\dfrac{2}{AH^2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:

$\dfrac{1}{HE^2}=\dfrac{1}{HB^2}+\dfrac{1}{AH^2}$

$\dfrac{1}{HF^2}=\dfrac{1}{HC^2} +\dfrac{1}{AH^2}$

Cộng vế theo vế ta được:

$\dfrac{1}{HE^2}+\dfrac{1}{HF^2}=\dfrac{1}{HB^2}+\dfrac{1}{HC^2} +\dfrac{2}{AH^2}$

d) Sửa đề:

$\sqrt2 BC \geq AB + AC$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy- Schwarz$ ta được:

$\sqrt{(1.AB + 1.AC)^2}\leq \sqrt{(1^2 + 1^2)(AB^2 + AC^2)}$

$\to AB + AC \leq \sqrt{2.BC^2} = \sqrt2BC$

e) Dễ dàng chứng minh được $AEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AH = EF$

Ta có: $ S_{AHEF}=AE.AF$

$\to S \leq \dfrac{AE^2 + AF^2}{2}$

$\to S \leq \dfrac{EF^2}{2}=\dfrac{AH^2}{2}$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\to AM = MB = MC =\dfrac12BC$

Xét $∆AHM$ vuông tại $H$ luôn có:

$AH\leq AM$

$\to AH^2 \leq AM^2$

$\to \dfrac{AH^2}{2} \leq \dfrac{AM^2}{2}=\dfrac{BC^2}{8}$

$\to S \leq \dfrac{BC^2}{8}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AH = AM$

$\Leftrightarrow H \equiv M$

$\Leftrightarrow ∆ABC$ vuông cân tại $A$

f) Ta có:

$MA = MB = MC$

$\Rightarrow ∆AMC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{AMH}=2\widehat{ACM}=2\widehat{C}$

Ta có:

$\sin\widehat{AMH}=\dfrac{AH}{AM}$

$\to \sin2C =\dfrac{2AH}{BC}$

$\to \sin2C =2\cdot\dfrac{\dfrac{AB.AC}{BC}}{BC}$

$\to \sin2C = 2\cdot\dfrac{AB}{BC}\cdot\dfrac{AC}{BC}$

$\to \sin2C = 2\sin C.\cos C$

g) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được:

$AB^2 = HB.BC$

$AC^2 = HC.BC$

$\to \dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{HB}{HC}$

$\to\dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{HB^2}{HC^2}$

$\to \dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BE.AB}{CF.AC}$

$\to \dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BE}{CF}$