Đáp án:
GTLN của $A$ là $1$, đạt đc khi $(x,y) \in \{(0,1), (1,0)\}$.
GTNN của $A$ là $\dfrac{1}{2}$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.
Giải thích các bước giải:
Ta có
$A = x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 1 - 2xy$
Ta có
$xy \geq 0$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Leftrightarrow -2xy \leq 0$ với mọi $x, y \geq 0$
$\Leftrightarrow 1 - 2xy \leq 1$ với mọi $x,y\geq 0$
$\Leftrightarrow A \leq 1$ với mọi $x,y\geq 0$
Dấu "=" xảy ra khi $xy = 0$ hay $x = 0, y = 1$ hoặc $x = 1, y = 0$.
Vậy GTLN của $A$ là $1$, đạt đc khi $(x,y) \in \{(0,1), (1,0)\}$.
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy ta có
$xy \leq \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow -2xy \geq -\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 1 - 2xy \geq \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow A \geq \dfrac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y$ và $x + y = 1$ hay $x = y = \dfrac{1}{2}$
Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{1}{2}$, đạt đc khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.
