Giải thích các bước giải:
a.Ta có: $M,P$ là trung điểm $AB,AD$
$\to MP$ là đường trung bình $\Delta ABD$
$\to MP//BD, MP=\dfrac12BD$
Mà $N$ là trung điểm $BD\to MP//BN, MP=BN$
$\to MPNB$ là hình bình hành
Mặt khác $MP//ND, MP=\dfrac12BD=ND\to MPDN$ là hình bình hành
Ta có: $ABCD$ là hình chữ nhật $\to S_{ABD}=S_{BCD}$
$\to \dfrac12AH.BD=\dfrac12CK.BD\to AH=CK$
Mà $AH\perp BD, CK\perp DB\to AH//CK$
$\to AHCK$ là hình bình hành
b.Ta có $M,N, P$ là trung điểm $ AB, BD, AD$
$\to MN, NP$ là đường trung bình $\Delta ABD$
$\to MN//AD, NP//AB$
$\to MN\perp AB, NP\perp AD$
Mà $AB\perp AD\to AMNP$ là hình chữ nhật
Tương tự $MNEB$ là hình chữ nhật
c.Ta có $MP//BD\to MP//HN$
$\to PMNH$ là hình thang
Lại có: $\Delta AHD$ vuông tại $H, P$ là trung điểm $AD\to PA=PD=PH\to\Delta PHD$ cân tại $P$
Mà $\widehat{MPH}=\widehat{PHD}=\widehat{PDH}=\widehat{ADB}=\widehat{MNB}=\widehat{PMN}$
$\to MNHP$ là hình thang cân
d.Ta có: $NP\perp AD, NE\perp BC\to NE\perp AD$ vì $AD//BC$
$\to P, N,E$ thẳng hàng
$\to PE//AB$ vì $PN//AB$
$\to MN\perp PE$ vì $MN\perp AB$
Lại có: $NP=\dfrac12AB=\dfrac12CD=NE$
$\to N$ là trung điểm $PE$
$\to MN\perp PE=N$ là trung điểm $PE$
$\to\Delta MPE$ cân tại $M$
