a) Ta có:
$CM,CA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M,A$
$\Rightarrow CM= CA$
$DB,DM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,M$
$\Rightarrow DM = DB$
Do đó:
$AC + BD = CM + DM = CD$
Mặt khác: $OM =OA = OB$
$\Rightarrow OD$ là trung trực của $BM$
$\Rightarrow OD$ là phân giác của $\widehat{BOM}$
$\Rightarrow \widehat{BOD} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOM} = \dfrac{1}{2}sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}$
Ta lại có:
$\widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}sđ\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}$
Do đó:
$\widehat{BOD} = \widehat{BAM}$
$\Rightarrow AM//OD$
b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$AB^2 = AM^2 + MB^2$
$\Rightarrow MB = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{4R^2 - R^2} = R\sqrt3$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AM.MB = AB.MH = 2S_{AMB}$
$\Rightarrow MH = \dfrac{AM.MB}{AB} = \dfrac{R.R\sqrt3}{2R} = \dfrac{R\sqrt3}{2}$
c) Xét $ΔAOM$ có:
$OA = OM = AM = R$
$\Rightarrow ΔAOM$ đều
mà $MH\perp OA\quad (MH\perp AB)$
nên $HA = HO = \dfrac{R}{2}$
Ta có: $IH = IM = \dfrac{1}{2}MH$
$\Rightarrow IH = \dfrac{R\sqrt3}{4}$
Trên đoạn $HB$ lấy điểm $E$ sao cho $HE = \dfrac{1}{4}HB$
$\Rightarrow HE = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{MB^2}{AB} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3R^2}{2R} = \dfrac{3R}{8}$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$+) \quad AI^2 = IH^2 + HA^2$
$\Leftrightarrow AI^2 = \dfrac{3R^2}{16} + \dfrac{R^2}{4}= \dfrac{7R^2}{16}$
$+) \quad EI^2 = IH^2 + HE^2$
$\Leftrightarrow EI^2 = \dfrac{3R^2}{16} + \dfrac{9R^2}{64} = \dfrac{21R^2}{64}$
$+) \quad AE^2 = (HA + HE)^2$
$\Leftrightarrow AE^2 = \left(\dfrac{R}{2} + \dfrac{3R}{8}\right)^2 = \dfrac{49R^2}{64}$
Ta có:
$\dfrac{49R^2}{64} = \dfrac{21R^2}{64} + \dfrac{7R^2}{16}$
$\Leftrightarrow AE^2 = EI^2 + AI^2$
$\Rightarrow ΔAIE$ vuông tại $I$ (Theo định lý Pytago đảo)
$\Rightarrow AI\perp IE$
Mặt khác:
$\dfrac{IH}{HK} = \dfrac{IH}{2MH} = \dfrac{IH}{4IH} = \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{HE}{HB} = \dfrac{1}{4}$ (cách dựng)
$\Rightarrow \dfrac{IH}{HK} = \dfrac{HE}{HB}$
$\Rightarrow IE//KB$ (Theo định lý $Thales$ đảo)
Do đó $AI\perp KB$
