Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$P\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 11x + 16$ chia $x^2-3$ dư $4$ 

$ \Rightarrow P\left( x \right) - 4 = \left( {{x^3} - {x^2} + 11x + 12} \right) \vdots \left( {{x^2} - 3} \right)$

Mà lại có:

$\begin{array}{l}
P\left( x \right) - 4 = {x^3} - {x^2} + 11x + 12\\
 = x\left( {{x^2} - 3} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right) + 14x + 9\\
 = \left( {{x^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) + 14x + 9
\end{array}$

Để $\left( {{x^3} - {x^2} + 11x + 12} \right) \vdots \left( {{x^2} - 3} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) + 14x + 9} \right) \vdots \left( {{x^2} - 3} \right)\\
 \Leftrightarrow 14x + 9 = 0\\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 9}}{{14}}
\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{{ - 9}}{{14}}$ thỏa mãn đề.

b) Ta có:

$Q\left( x \right) = {x^3} + 6{x^2} - 15$ chia $x^2+2$ dư $5$

Mà lại có:

$\begin{array}{l}
Q\left( x \right) - 5 = {x^3} + 6{x^2} - 20\\
 = x\left( {{x^2} + 2} \right) + 6\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x - 32\\
 = \left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x - 32
\end{array}$

Để $\left( {{x^3} + 6{x^2} - 20} \right) \vdots \left( {{x^2} + 2} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\left( {x + 6} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) - 2x - 32} \right) \vdots \left( {{x^2} + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow  - 2x - 32 = 0\\
 \Leftrightarrow x =  - 16
\end{array}$

Vậy $x =  - 16$ thỏa mãn đề.