Đáp án:
$x=8$
Giải thích các bước giải:
Để ${x^2} + 36$ là số chính phương.
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} + 36 = {a^2}\left( {a \in Z} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} - {x^2} = 36\\
\Leftrightarrow \left( {a - x} \right)\left( {a + x} \right) = 36\left( 1 \right)
\end{array}$
Mà $a,x \in Z \Rightarrow a - x + a + x = 2a \vdots 2$
$ \Rightarrow a - x,a + x$ cùng tính chẵn, lẻ.
Mặt khác: $\left( 1 \right) \Rightarrow $ Trong 2 số $a-x;a+x$ phải có ít nhất $1$ số chia hết cho $2$.
$ \Rightarrow a - x,a + x$ cùng chẵn.
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - x = 2;a + x = 18\\
a - x = 6;a + x = 6\\
a - x = - 2;a + x = - 18\\
a - x = - 6;a + x = - 6
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 10;x = 8\\
a = 6;x = 0\left( l \right)\\
a = - 10;x = - 8\left( l \right)\\
a = - 6;x = 0\left( l \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow a = 10;x = 8
\end{array}$
Vậy $x=8$ thỏa mãn đề.
