Ta có:
$AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$
$\Rightarrow OB\perp AB;\, OC\perp AC$
$\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^o$
$\Rightarrow OBAC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{CBO}=\widehat{CBD}$ (cùng nhìn cạnh $OC$) $(1)$
Xét tứ giác $OACK$ có:
$\widehat{OKA}=\widehat{OCA}=90^o$
$\widehat{OKA}$ và $\widehat{OCA}$ cùng nhìn cạnh $OA$
Do đó $OACK$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{CKF}\qquad (2)$
Mặt khác ta có:
$\widehat{BCD}=90^o$ (nhìn đường kính $BD$)
$\Rightarrow \widehat{DCF}=90^o$
Lại có $\widehat{DKF}=90^o\quad (OK\perp AD)$
và $\widehat{DCF},\,\widehat{DKF}$ cùng nhìn cạnh $DF$
Do đó $DKCF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CKF}=\widehat{CDF}$ (cùng nhìn cạnh $CF$) $(3)$
$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CDF}$
$\Rightarrow FD$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\Rightarrow FD\perp BD$
