`sqrt{2x+1}+sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+17x^2-8x+22(1)` `ĐKXĐ` $\begin{cases}2x=1 \geq 0\\17-2x \geq 0\\\end{cases}$ `->` $\begin{cases}x \geq -\dfrac{1}{2}\\x \leq \dfrac{17}{2}\\\end{cases}$ `(1)<=>sqrt{2x+1}+sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+16x^2+x^2-8x+16+6` `<=>sqrt{2x+1}+sqrt{17-2x}=(x^2-4x)^2+(x-4)^2+6` CMBĐT sau bằng `cosi` `(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2(a,b,x,y>0)` `<=>a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2>=a^2x^2+b^2y^2+2axby` `<=>a^2y^2-2axby+b^2x^2>=0` áp dụng BĐT cosi với 2 số dương ta có `a^2y^2+b^2x^2>=2axby` `->a^2y^2-2axby+b^2x^2>=0`(luôn đúng) dấu = xảy ra khi `a/x=b/y` áp dụng BĐT vừa chứng minh từ `cosi` ta có `(sqrt{2x+1}+sqrt{17-2x})^2<=(1+1).(2x+1+17-2x)` `<=>(sqrt{2x+1}+sqrt{17-2x})^2<=2.18=36` `<=>sqrt{2x+1}+sqrt{17-2x}<=6` dấu = xảy ra khi `sqrt{2x+1}=sqrt{17-2x}` `<=>2x+1=17-2x` `<=>4x=16` `<=>x=4` `+)(x^2-4x)^2>=0` `+)(x-4)^2>=0` `->(x^2-4x)^2+(x-4)^2>=0` `->(x^2-4x)^2+(x-4)^2+6>=6` dấu = xảy ra khi $\begin{cases}x^2-4x=0\\x-4=0\\\end{cases}$ `->` $\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}x=4\\x=0\end{array} \right.\\x=4\\\end{cases}$ `->x=4` `+)` $\begin{cases}VT \leq 6\\VP \geq 6\\\end{cases}$ `->VT=VP=6<=>x=4(TMĐKXĐ)` vậy phương trình có nghiệm duy nhất `x=4`
