Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ x² + y² = 1 ⇒ - 1 ≤ y ≤ 1 ⇒ y + \sqrt{2} > 0$
Nếu $ x ≤ 0 ⇒ P ≤ 0$
Xét $ x > 0 ⇒ P > 0$
$ ⇒ P² = \dfrac{x²}{y² + 2\sqrt{2}y + 2}$
$ = 1 - (1 - \dfrac{1 - y²}{y² + 2\sqrt{2}y + 2})$
$ = 1 - \dfrac{2y² + 2\sqrt{2}y + 1}{y² + 2\sqrt{2}y + 2}$
$ = 1 - \dfrac{(\sqrt{2}y + 1)²}{(y + \sqrt{2})²} ≤ 1$
$ ⇒ GTLN$ của $P = 1 ⇔ \sqrt{2}y + 1 = 0$
$ ⇔ y = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}; x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
@ Xét $ x ≤ - 1; x ≥ 1 ⇒ (x - 1)² ≥ 0; (x + 1)² ≥ 0 $
$ P ≥ \sqrt{y²} + \sqrt{y² + 4} + |y - 2| $
$ = |y| + |2 - y| + \sqrt{y² + 4} ≥ |y + 2 - y| + \sqrt{4} = 4 (1)$
Dấu $'='$ xảy ra khi đồng thời :
$ |y| + |2 - y| = |y + 2 - y| ⇔ y(2 - y) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 2$
$ \sqrt{y² + 4} = \sqrt{4} = 2 ⇔ y = 0$
@ Xét $ - 1 < x < 1 ⇔ 1 - x > 0; x + 1 > 0 $
$ ⇒ |x - 1| ≥
Ta có:
$ \sqrt{(x - 1)² + y²} + \sqrt{(x + 1)² + y²} - (x + 1) - 2$
$ \sqrt{(1 - x)² + y²} - (1 - x) + \sqrt{(x + 1)² + y²} - (x + 1)$
$ = \dfrac{y²}{\sqrt{(x - 1)² + y²} + 1 - x} + \dfrac{y²}{\sqrt{(x + 1)² + y²} + (x + 1)} ≥ 0$
$ ⇒ \sqrt{(x - 1)² + y²} + \sqrt{(x + 1)² + y²} ≥ 2$
Dấu $'=' ⇔ y = 0$
$ | y - 2| ≥ 0
