Đáp án: $(a,b)\in\{(\sqrt{2+\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}),(\sqrt{2-\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}),(-\sqrt{2+\sqrt{3}},\dfrac{1}{-\sqrt{2+\sqrt{3}}}),(-\sqrt{2-\sqrt{3}},\dfrac{1}{-\sqrt{2-\sqrt{3}}})\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$a^2+b^2\ge 2ab,\quad\forall a,b$
$\to ab\le\dfrac12(a^2+b^2)$
$\to ab\le \dfrac12\cdot 4$
$\to ab\le 2$
$\to $Với $ab=3$ thì không tồn tại $a,b$ thỏa mãn đề
Với $ab=1\to b=\dfrac1a$
Ta có:
$a^2+b^2=4$
$\to a^2+\dfrac{1}{a^2}=4$
$\to a^4+1=4a^2$
$\to a^4-4a^2+1=0$
$\to a^4-4a^2+4=3$
$\to (a^2-2)^2=3$
$\to a^2-2=\pm\sqrt{3}$
$\to a^2=2\pm\sqrt{3}$
$\to a=\pm\sqrt{2\pm\sqrt{3}}$
$\to b=\dfrac{1}{\pm\sqrt{2\pm\sqrt{3}}}$
