Đáp án: $(x,y,z)= \{(2,2,4),(1,3,8),(1,4,5)\}$ và hoán vị
Giải thích các bước giải:
Gọi ba số tự nhiên cần tìm là $x,y,z, (0\le x\le y\le z)$
$\to x+y+z=\dfrac12xyz$
Ta có: $x\le y\le z\to 3x\le x+y+z\le 3z$
$\to 3x\le \dfrac12xyz\le 3z$
$\to 6x\le xyz\le 6z$
$\to xyz\le 6z$
$\to xy\le 6$
$\to xy\in\{1,2,3,4,5,6\}$
Nếu $xy=1\to x,y$ là cặp ước của $1$
$\to x=y=1$
$\to 1+1+z=\dfrac12\cdot 1\cdot 1\cdot z$
$\to 2+z=\dfrac12z$
$\to \dfrac12z+2=0\to $ Loại vì $z\in N$
Nếu $xy=2\to x,y$ là cặp ước của $2$
Mà $x\le y\to x=1, y=2$
$\to 1+2+z=\dfrac12\cdot 1\cdot 2\cdot z$
$\to 3+z= z$
$\to 3=0$ (loại)
Nếu $xy=3\to x,y$ là cặp ước của $3$
Mà $x\le y\to x=1, y=3$
$\to 1+3+z=\dfrac12\cdot 1\cdot 3\cdot z$
$\to 4+z=\dfrac32 z$
$\to \dfrac12z=4\to z=8$
$\to (x,y,z)= (1,3,8)$
Nếu $xy=4\to (x,y)\in\{(2,2), (1,4)\}$
$+) (x,y)=(2,2)$
$\to 2+2+z=\dfrac12\cdot 2\cdot2\cdot z$
$\to 4+z=2z$
$\to z=4\to (x,y,z)=(2,2,4)$
$+)(x,y)=(1,4)$
$\to 1+4+z=\dfrac12\cdot 1\cdot4\cdot z$
$\to 5+z=2z$
$\to z=5$
$\to (x,y,z)=(1,4,5)$
Nếu $xy=5\to (x,y)=(1,5)$
$\to 1+5+z=\dfrac12\cdot 1\cdot5\cdot z$
$\to 6+z=\dfrac52z$
$\to \dfrac32z=6$
$\to z=4$ loại vì $z>y$
Nếu $xy=6\to (x,y)\in\{(1,6), (2,3)\}$
$+)(x,y)=(1,6)$
$\to 1+6+z=\dfrac12\cdot 1\cdot6\cdot z$
$\to 7+z=3z$
$\to 2z=7\to z=\dfrac72$ loại
$+)(x,y)=(2,3)$
$\to 2+3+z=\dfrac12\cdot 2\cdot3\cdot z$
$\to 5+z=3z$
$\to 2z=5\to z=\dfrac52$ loại
