Giải thích các bước giải:
Đặt $\dfrac{1}{a} = x, \dfrac{2}{b} = y, \dfrac{3}{c} = z$ $(x,y,z>0)$ nên $x+y+z=3$
$\to a = \dfrac{1}{x}, b=\dfrac{2}{y}, c=\dfrac{3}{z}$
Ta có : $\dfrac{27a^2}{c.(c^2+9a^2)} = \dfrac{27.\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{3}{z}.\bigg(\dfrac{9}{z^2}+\dfrac{9}{x^2}\bigg)} = \dfrac{z^3}{z^2+x^2}$
Chứng minh tương tự có : $\dfrac{b^2}{a.(4a^2+b^2)} = \dfrac{x^3}{x^2+y^2}$
$\dfrac{8c^2}{b.(9b^2+4c^2)} = \dfrac{y^3}{y^2+z^2}$
Do đó ta cần chứng minh $\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2}+\dfrac{z^3}{z^2+x^2} ≥ \dfrac{3}{2}$
Thật vậy có : $\dfrac{x^3}{x^2+y^2} = \dfrac{x.(x^2+y^2)-xy^2}{x^2+y^2} = x- \dfrac{xy^2}{x^2+y^2} ≥ x- \dfrac{xy^2}{2xy} = x- \dfrac{y}{2}$
$\to \dfrac{x^3}{x^2+y^2} ≥ x-\dfrac{y}{2}$
Tương tự thì $\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2}+\dfrac{z^3}{z^2+x^2} ≥ x+y+z-\dfrac{x+y+z}{2} = \dfrac{x+y+z}{2} = \dfrac{3}{2}$
$\to đpcm$
Dấu "=" xảy ra $⇔a=1,b=2,c=3$
