Đáp án:
1) $C_{10}^4 = 210$
2a) $P = \dfrac{7}{15}$
b) $P = \dfrac{7}{15}$
c) $P = \dfrac{8}{15}$
Giải thích các bước giải:
1) Sửa đề: $C_n^1 + C_n^3 = 13n$
Ta có:
$C_n^1 + C_n^3 = 13n\qquad (n \geq 3;\, n \in \Bbb N)$
$\Leftrightarrow \dfrac{n!}{(n-1)!1!} + \dfrac{n!}{(n-3)!3!} = 13n$
$\Leftrightarrow 6n + n(n-1)(n-2) = 78n$
$\Leftrightarrow n^2 -3n - 70 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}n = -7\quad (loại)\\n = 10\quad (nhận)\end{array}\right.$
Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(x^2 + \dfrac{1}{x^3}\right)^{10}$ có dạng:
$\sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^k(x^2)^{10- k}\left(\dfrac{1}{x^3}\right)^k\qquad (0\leq k \leq 10;\, k\in\Bbb Z)$
$= \sum\limits_{k=0}^{10}C_{10}^kx^{20 - 5k}$
Số hạng không chứa $x$ ứng với phương trình:
$20 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 4 \quad (nhận)$
Vậy số hạng không chứa $x$ là: $C_{10}^4 = 210$
2) Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$
a) Gọi $A$ là biến cố: "Chọn được `2` người đều là nam"
$\Rightarrow n(A) = C_{7}^2 = 21$
Xác suất chọn được `2` người đều là nam: $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15}$
b) Gọi $B$ là biến cố: "Chọn `2` người có đúng `1` nam"
$\Rightarrow n(B) = C_7^1.C_3^1 = 21$
Xác suất chọn được `2` người có đúng `1` nam: $P(B) = \dfrac{n(B)}{n(\Omega)} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15}$
c) Gọi $C$ là biến cố: "Chọn đươc `2` người có ít nhất `1` nữ"
$\Rightarrow n(C) = n(\Omega) - n(A) = 45 - 21 = 24$
Xác suất chọn được ít nhất `1` nữ: $P(C) = \dfrac{n(C)}{n(\Omega)} = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15}$
