Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
1){x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = 12 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} + x\sqrt {2{x^2} + 4}  - 12 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} + 2x\sqrt {2{x^2} + 4}  - 24 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x\sqrt {2{x^2} + 4}  + 6} \right)\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4}  - 4} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x\sqrt {2{x^2} + 4}  + 6 = 0\\
x\sqrt {2{x^2} + 4}  - 4 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x\sqrt {2{x^2} + 4}  =  - 6\\
x\sqrt {2{x^2} + 4}  = 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 36
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 16
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
{x^4} + 2{x^2} - 18 = 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{x^4} + 2{x^2} - 8 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} =  - 1 + \sqrt {19} \\
{x^2} =  - 1 + \sqrt {19} \left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} =  - 4\left( l \right)\\
{x^2} = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0\\
{x^2} =  - 1 + \sqrt {19} 
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{x^2} = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \sqrt { - 1 + \sqrt {19} } \\
x = \sqrt 2 
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - \sqrt { - 1 + \sqrt {19} } ;\sqrt 2 } \right\}$

$2)$

Giả sử phản chứng: Tồn tại $4$ số tự nhiên $a,b,c,d$ đồng thời lẻ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} = {d^2}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = {d^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {ab + bc + ac} \right) = {d^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - {d^2} = 2\left( {ab + bc + ac} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b + c + d} \right) = 2\left( {ab + bc + ac} \right)\left( 1 \right)
\end{array}$

Nhận xét:

Do $a,b,c,d$ lẻ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a + b + c - d} \right) \vdots 2\\
\left( {a + b + c + d} \right) \vdots 2
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b + c + d} \right) \vdots 4\\
 \Rightarrow V{T_{\left( 1 \right)}} \vdots 4
\end{array}$

Lại có:

Do $a,b,c,d$ lẻ $ \Rightarrow ab + bc + ac$ lẻ $ \Rightarrow V{P_{\left( 1 \right)}} \vdots 2$

Như vậy: $V{T_{\left( 1 \right)}} \vdots 4$ còn $V{P_{\left( 1 \right)}} \vdots 2$

$\to$ Giả sử phản chứng sai.

$\to a,b,c,d$ không thể đồng thời là các số lẻ.

Ta có điều phải chứng minh.