Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đề buộc phải có điều kiện $y \in Z$, lý do đã nói ở trên :)
Khi $y \in Z$, dễ dàng suy ra y là số nguyên lẻ và $y>1$
Đặt $y=2k-1$ với $k \in Z$; $k \geq 1$
$⇒2x^2-1=(2k-1)^3=8k^3-12k^2+6k-1$
$⇔x^2=k(4k^2-6k+3)$
Gọi $d=ƯC(k;4k^2-6k+3) ⇒4k^2-6k+3-k(4k-6)$ chia hết cho d
$⇒3$ chia hết cho $d ⇒d=1$ hoặc $d=3$
TH1: $d=3 ⇒k$ chia hết cho 3 $⇒k(4k^2-6k+3)$ chia hết cho 9
Hiển nhiên rằng $x$ chia hết cho 3
TH2: $d=1⇒k$ và $4k^2-6k+3$ là 2 số nguyên tố cùng nhau
Mà $k(4k^2-6k+3)=x^2$ ⇒$k=m^2$ đồng thời $4k^2-6k+3=n^2$
$⇒16k^2-24k+12=4n^2$
$⇔(4k-3)^2+3=(2n)^2$
$⇔(2n-4k+3)(2n+4k-3)=3$
Pt ước số cơ bản, dễ dàng giải ra $k=1$
$⇒x^2=1(4-6+3)=1 ⇒x=1$ (ktm)
Vậy $x$ chia hết cho 3
