Đáp án + giải thích các bước giải:
Cách 1:
BDT tổng hai nghịch đảo là bất đẳng thức Cô-si với hai số dương a,b như sau
`a/b+b/a>=2 `
Ta sẽ chứng minh như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a/b+b/a>=2\sqrt{ a/b . b/a}=2.\sqrt{1}=2`
Xét bài toán:
`a/(bc)+b/(ca)+c/(ab)>=1/a+1/b+1/c`
Xét `a/(bc)+b/(ca) = a/b . 1/c + b/a . 1/c =1/c .(a/b+b/a)>=1/c . 2` (theo chứng minh trên)
Tương tự thì
`b/(ca)+c/(ab)=b/c . 1/a + c/b . 1/a=1/a (b/c . c/b)>=1/a . 2 `
`a/(bc)+c/(ab)= a/c . 1/b + c/a . 1/b=1/b (a/c+c/a)>=1/b . 2`
Cộng ba vế trên
`a/(bc)+b/(ca)+b/(ca)+c/(ab)+a/(bc)+c/(ab)>=1/c . 2+ 1/a . 2+ 1/b .2`
`->2(a/(bc)+b/(ca)+c/(ab))>=2(1/a+1/b+1/c)`
`->a/(bc)+b/(ca)+c/(ab)>=1/a+1/b+1/c` (đpcm)
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a/(bc)+b/(ca)>=2\sqrt{ a/(bc) . b/(ca) }=2\sqrt{(a.b)/(b.c.c.a)}=2\sqrt{1/c^2}=2 . 1/c`
Tương tự:
`b/(ca)+c/(ab)>=2. 1/a`
`a/(bc)+c/(ab)>=2. 1/b`
Cộng ba vế trên
`a/(bc)+b/(ca)+b/(ca)+c/(ab)+a/(bc)+c/(ab)>=1/c . 2+ 1/a . 2+ 1/b .2`
`->2(a/(bc)+b/(ca)+c/(ab))>=2(1/a+1/b+1/c)`
`->a/(bc)+b/(ca)+c/(ab)>=1/a+1/b+1/c` (đpcm)
