Đáp án:
$m \ge 2$ hoặc $m \le - 2$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
${x^4} - \left( {m + 1} \right){x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\left( 1 \right)$
+)TH1: $x=0$
$(1)$ trở thành: $1=0$ (vô lí)
$\to x=0$ không là nghiệm của $(1)$
+)TH2: $x\ne 0$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\left( 1 \right)\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + \left( {m + 2} \right) - \left( {m + 1} \right).\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + m + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + 2} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + m = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + m = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + \dfrac{1}{x} - 1} \right)\left( {x + \dfrac{1}{x} - m} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \dfrac{1}{x} = 1\left( 2 \right)\\
x + \dfrac{1}{x} = m\left( 3 \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
*) Giải $(2)$ ta có:
$ (2) \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0\left( {vn,do:\Delta = - 3 < 0} \right)$
Như vậy:
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(3)$ có nghiệm
$ \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{x} = m$ có nghiệm
$ \Leftrightarrow {x^2} - mx + 1 = 0$ có nghiệm
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 4.1.1 \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} \ge 4\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 2\\
m \le - 2
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $m \ge 2$ hoặc $m \le - 2$ thỏa mãn.
