Đáp án:
1/ $P_{MAX}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$ khi $x=2$ và $y=4$
2/ a/ $x ∈ R$
b/ $-3 < x < 3$
c/ $-1 \leq x < 3$
3/ a/ $x=0$ hoặc $x=1$
b/ $m=1$
c/ $x < \dfrac{1-m}{1-2m}$ và $m \neq \dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
1/ $P=\dfrac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-2}}{xy}$ $\text{(với $x \geq 1$; $y \geq 2$)}$
$=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}$
$=\dfrac{\sqrt{1(x-1)}}{x}+\dfrac{\sqrt{2(y-2)}}{y\sqrt{2}}$
$\text{Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:}$
$P \leq \dfrac{1+x-1}{2x}+\dfrac{2+y-2}{2y\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
$⇒ P \leq \dfrac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$
$\text{Dấu "=" xảy ra khi $x=2$ và $y=4$}$
$\text{Vậy giá trị lớn nhất của P là $\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$ khi $x=2$ và $y=4$}$
2/ a/ $\text{Hàm số $y=-3x^2+2x+1$ xác định với mọi $x ∈ R$}$
b/ $\text{Hàm số $y=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}$ xác định khi: $9-x^2>0$}$
$⇔ x^2<9$
$⇔ -3 < x < 3$
c/ $\text{Hàm số $y=\sqrt{x+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3-x}}$ xác định khi:}$
$\begin{cases}x+1 \geq 0 \\ 3-x > 0\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}x \geq -1 \\ x< 3\end{cases}$
$⇔ -1 \leq x < 3$
3/ a/ $y=(1-2m)x+m-1$
$\text{Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm}$ `(\frac{1-m}{1-2m}; 0)`
$\text{Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên thì:}$
$\begin{cases}1-2m \neq 0 \\ \dfrac{1-m}{1-2m} ∈ Z\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}m \neq \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{2-2m}{1-2m} ∈ Z\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}m \neq \dfrac{1}{2}\\1+\dfrac{1}{1-2m} ∈ Z\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}m \neq \dfrac{1}{2}\\1- 2m ∈ Ư_{1}\end{cases}$
$⇒ \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.$
$\text{Vậy đthị h/s cắt trục hoành tại điểm có hoành độ ∈ Z khi $x=0$; $x=1$}$
b/ $\text{Để đồ thị đi qua gốc tọa độ thì: $m-1=0 ⇔ m=1$}$
c/ $\text{Để đồ thị tạo với chiều dương của trục hoành một góc nhọn thì:}$
$\begin{cases}1-2m \neq 0 \\ y < 0\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}m \neq \dfrac{1}{2} \\(1-2m)x+m-1 < 0\end{cases}$
$⇔ \begin{cases}m \neq \dfrac{1}{2}\\x < \dfrac{1-m}{1-2m}\end{cases}$
