a) Ta có: $\widehat{BAC} = 90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow \begin{cases}AB = BC.\sin\widehat{C}\\AC = BC.\cos\widehat{C}\\AH = \dfrac{AB.AC}{BC}\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}AB = 2R.\sin30^o\\AC = 2R.\cos30^o\\AH = \dfrac{4R^2.\sin30^o.\cos30^o}{2R}\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}AB = R\\AC = R\sqrt3\\AH = \dfrac{R\sqrt3}{2}\end{cases}$
b) Ta có:
$BC\perp AD \quad (gt)$
$\Rightarrow AH = HD$ (định lý đường kính - dây cung)
$\Rightarrow AH.HD = AH^2$
Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$AH^2 = BH.HC$
Do đó: $AH.HD = BH.HC \quad (=AH^2)$
c) Ta có:
$OK\perp AB\quad (gt)$
$\Rightarrow KA = KB$ (định lý đường kính - dây cung)
mà $OA = OB = R$
nên $OK$ là trung trực của $AB$
Lại có: $\{E\} = Bx\cap OK$
$\Rightarrow E \in OK$
$\Rightarrow EA = EB$
Xét $ΔEAO$ và $ΔEBO$ có:
$EA= EB \quad (cmt)$
$OE:$ cạnh chung
$OA = OB = R$
Do đó $ΔEAO = ΔEBO \, (c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{EAO} = \widehat{EBO} = 90^o$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow OA\perp AE$
$\Rightarrow AE$ là tiếp tuyến của $(O)$
d) Ta có:
$AH//EB\quad (\perp BC)$
$\Rightarrow IH//EB$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{EI}{EC} =\dfrac{BH}{BC}\qquad (1)$
Mặt khác, xét $ΔEBO$ vuông tại $B$ đường cao $BK$ ta có:
$\dfrac{EK}{EO} = \dfrac{\dfrac{EB^2}{EO}}{EO} = \dfrac{EB^2}{EO^2} = \sin^2\widehat{EOB}$
mà $\widehat{EOB} = \widehat{KOB} = \widehat{HAB}$ (cùng phụ $\widehat{HBA}$)
nên $\sin^2\widehat{EOB} = \sin^2\widehat{HAB} = \dfrac{BH^2}{AB^2}$
Do đó:
$\dfrac{EK}{EO} = \dfrac{BH^2}{AB^2} = \dfrac{BH^2}{BH.BC} = \dfrac{BH}{BC}\quad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow \dfrac{EI}{EC} = \dfrac{EK}{EO}$
$\Rightarrow IK//OC$ (Theo định lý $Thales$ đảo)
$\Rightarrow IK//BC$
