Ta có:
$I,\, K$ là giao điểm các đường phần giác của $∆HAB,\, ∆HAC$
$\Rightarrow I,\, K$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $∆HAB,\, ∆HAC$
Gọi $D',\, E'$ lần lượt là giao điểm của $(A;AH)$ và $AB,\, AC$
$\Rightarrow AD' = AE' = AH = R$
$\Rightarrow ∆AD'E'$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{AD'E'}=\widehat{AE'D'}=45^o$
Gọi giao điểm của $D'E'$ và đường phân giác trong của $\widehat{HAB}$ và $\widehat{HAC}$ lần lượt là $I',\, K'$
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{HAI'}=\widehat{D'AI'}\\\widehat{HAK'}=\widehat{E'AK'}\end{cases}$
Xét $∆HAI'$ và $∆D'AI'$ có:
$\widehat{HAI'}=\widehat{D'AI'}\quad (cmt)$
$AH = AD' = R\quad$ (cách dựng)
$AI':$ cạnh chung
Do đó $∆HAI'=∆D'AI'\, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AHI'}=\widehat{AD'I'}$
mà $\widehat{AD'I'}=\widehat{AD'E'}=45^o$
nên $\widehat{AHI'}=45^o$
$\Rightarrow \widehat{BHI'}=45^o$
$\Rightarrow HI'$ là phân giác của $\widehat{AHB}$
Ta lại có:
$AI'$ là phân giác của $\widehat{HAB}$
Do đó $I'$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆HAB$
$\Rightarrow I'\equiv I$
Chứng minh tương tự, ta được: $K'\equiv K$
$\Rightarrow D'\equiv D;\, E'\equiv E$
$\Rightarrow ∆ADE$ vuông cân tại $A$
$\Rightarrow DE = AD\sqrt2 = AH\sqrt2$
$\Rightarrow AH =\dfrac{DE}{\sqrt2}$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AM = MB = MC =\dfrac{BC}{2}$
Xét $∆HAM$ vuông tại $H$ luôn có:
$AH \leq AM$ (cạnh góc vuông $\leq$ cạnh huyền)
$\Leftrightarrow \dfrac{DE}{\sqrt2}\leq \dfrac{BC}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{DE}{BC}\leq \dfrac{\sqrt2}{2}$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow AH = AM \Leftrightarrow H\equiv M$
$\Leftrightarrow ∆ABC$ vuông cân tại $A$
