a) Cm: ∆ABC vuông
Ta có: ∆ABC nội đường tròn, AB là đường kính
`=>` ∆ABC vuông tại C
Tính độ dài các cạnh.
Ta có: OA = R ( bán kính )
`=>` AB =2R
Xét ∆ABC vuông tại C
Ta có: Cos A = $\frac{AC}{AB}$ (tslg)
`=>`Cos 60° = $\frac{AC}{2R}$
`=>` AC = Cos 60°.2R
`=>` AC =$\frac{1}{2}$.2R
`=>` AC = R
Ta có: ∆ABC vuông tại C
AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ ( định lí Pytago)
`=>` (2R)$^{2}$ = R$^{2}$+ BC$^{2}$
`=>` 4R$^{2}$ = R$^{2}$ + BC$^{2}$
`=>` CB$^{2}$ =3R$^{2}$
`=>` CB = R√3
b)
Ta có: CH $\bot$ AB tại H (gt)
`=>` CH là đường cao ∆ABC
Xét ∆ABC vuông tại C, đường cao CH
Ta có: AC$^{2}$ = AH. AB (htl) (1)
Xét ∆MAB vuông tại A, đường cao CA
Ta có: AC$^{2}$ = MC.BC (htl) (2)
Từ (1),(2) `=>` MC.BC = AH.AB ( cùng bằng AC$^{2}$ )
c)
Ta có: CH $\bot$ AB (gt)
MA $\bot$ AB ( Ax là tiếp tuyến, M ∈ Ax )
`=>` MA // CH ( cùng vuông AB )
Mà E ∈ MA, I ∈ CH
`=>` ME//CI, EA //IH
Xét ∆BME
Ta có: ME // CI (cmt)
`=>` $\frac{IC}{EM}$ = $\frac{BI}{BE}$ (hệ quả định lí Ta lét) (3)
Xét ∆BEA
Ta có: EA // IH (cmt)
`=>` $\frac{IH}{EA}$ = $\frac{BI}{BE}$ (hệ quả định lí Ta lét) (4)
Từ (3),(4) `=>` $\frac{IC}{EM}$ = $\frac{IH}{EA}$ ( cùng bằng $\frac{BI}{BE}$ )
Mà IH = IC ( I là trung điểm )
`=>` EM = EA
`=>` E là trung điểm AM
Ta có: ∆MCA vuông tại C
E là trung điểm AM (cmt)
`=>` EC là đường trung tuyến ∆MCA
`=>` EC = AE = EM = $\frac{1}{2}$AM (t/c đường trung tuyến ∆ vuông )
`=>`∆AEC cân tại E
`=>` $\widehat{EAC}$ = $\widehat{ECA}$ ( 2 góc đáy ∆ cân )
Ta có: AC = OC = OA ( cùng bằng R )
`=>` ∆OAC là ∆ đều ( ∆ có 3 cạnh bằng nhau )
`=>` $\widehat{CAO}$ = $\widehat{OCA}$ ( 2 góc đáy tam giác đều )
Mà $\widehat{EAC}$ = $\widehat{ECA}$ (cmt)
`=>` $\widehat{CAO}$ + $\widehat{EAC}$ = $\widehat{OCA}$ + $\widehat{ECA}$
`=>` 90° = $\widehat{ECO}$
`=>` EC $\bot$ OC tại C
`=>` EC là tiếp tuyến đường tròn (O)
😊
