Đáp án:
$\dfrac{4x^2}{x-1}+\dfrac{5y^2}{y-1}+\dfrac{3z^2}{z-1} \geq 48 ∀ x,y,z>1$
Giải thích các bước giải:
dự đoán dấu = xảy ra tại
$\begin{cases}x=2\\y=2\\z=2\\\end{cases}$
thật vậy nên ta dùng phương pháp biến đổi tương đương
$\dfrac{4x^2}{x-1}+\dfrac{5y^2}{y-1}+\dfrac{3z^2}{z-1} \geq 48$
$↔\dfrac{4x^2}{x-1}-16+\dfrac{5y^2}{y-1}-20+\dfrac{3z^2}{z-1}-12 \geq 0$
$↔4(\dfrac{x^2}{x-1}-4)+5(\dfrac{y^2}{y-1}-4)+3(\dfrac{z^2}{z-1}-4) \geq 0$
$↔4(\dfrac{x^2-4x+4}{x-1})+5(\dfrac{y^2-4y+4}{y-1})+3(\dfrac{z^2-4z+4}{z-1}) \geq 0$
$→4(\dfrac{(x-2)^2}{x-1})+5(\dfrac{(y-2)^2}{y-1})+3(\dfrac{(z-2)^2}{z-1}) \geq 0(ĐPCM)$ luôn đúng với `x,y,z>1`
vậy chứng tỏ $\dfrac{4x^2}{x-1}+\dfrac{5y^2}{y-1}+\dfrac{3z^2}{z-1} \geq 48 ∀ x,y,z>1$
dấu = xảy ra khi $\begin{cases}x=2\\y=2\\z=2\\\end{cases}$(đúng như dự đoán)
