a) Ta có:
$ΔABC$ vuông tại $A\quad (gt)$
$\Rightarrow AB\perp AC$
Ta lại có:
$BD//AC\quad (gt) \Rightarrow BD\perp AB$
$CD//AB\quad (gt)\Rightarrow CD\perp AC$
$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{ABD} = \widehat{ACD} =90^\circ$
Do đó $ABDC$ là hình chữ nhật
b) Ta có: $ABDC$ là hình chữ nhật (câu b)
$\Rightarrow$ Hai đường ché bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow OA = OB =OC = OD=\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD$
Xét $ΔBCE$ vuông tại $E$ có:
$O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow OE = OB = OC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD$
$\Rightarrow OE = OA = OD = \dfrac{1}{2}AD$
Xét $ΔAED$ có:
$OE = OA = OD = \dfrac{1}{2}AD$
$\Rightarrow ΔAED$ vuông tại $E$
hay $\widehat{AED} =90^\circ$
c) Gọi $I$ là trung điểm $HD$
Xét $ΔBHD$ có:
$IH = ID = \dfrac{1}{2}HD\quad$ (cách dựng)
$BN = NH = \dfrac{1}{2}BH \quad (gt)$
$\Rightarrow IN$ là đường trung bình
$\Rightarrow IN=\dfrac{1}{2}BD;\, IN//BD//AC//MC$
Ta lại có:
$AM = MC = \dfrac{1}{2}AC\quad (gt)$
$AC = BD\quad (ABCD$ là hình chữ nhật$)$
Do đó $IN = MC;\, IN//MC$
$\Rightarrow INMC$ là hình bình hành
$\Rightarrow IN//CM;\, IC//MN$
$\Rightarrow IN\perp CD\quad (AC\perp CD)$
Xét $DNC$ có:
$IN\perp CD\quad (cmt)$
$DH\perp NC\quad (DH\perp BC)$
$I\in DH$
$\Rightarrow I$ là trực tâm $ΔDHC$
$\Rightarrow CI\perp DN$
$\Rightarrow MN\perp DN\quad (CI//MN)$
$\Rightarrow \widehat{MND}=90^\circ$
