`a) text{Giả sử}:`
`(a^3 + b^3)/2 >= ((a + b)^3)/(2^3)`
`-> 4a^3 + 4b^3 - a^3 - 3a^{2}b - 3ab^2 - b^3 >= 0`
`-> 3(a^3 + b^3 - a^{2}b - ab^2) >= 0`
`-> a^{2}(a - b) - b^{2}(a - b) >= 0`
`-> (a - b)(a^2 - b^2) >= 0`
`-> (a + b).(a - b)^2 >= 0` `(text{luôn đúng với a, b > 0})`
`-> text{Bất đẳng thức được chứng minh}`
`b) text{Giả sử:}`
`a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc`
`-> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc >= 0`
`-> a^3 + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^3 + c^3 - 3abc - 3ab(a + b) >= 0`
`-> [(a + b)^3 + c^{3}] - 3ab(a + b + c) >= 0`
`-> (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) >= 0`
`-> 2.(a + b + c)[a^2 + b^2 + c^2 + (a - b - c)^2] >= 0` `(text{luôn đúng với a, b, c > 0})`
`-> text{Bất đẳng thức được chứng minh}`
`c) text{Giả sử:}`
`a^4 + 3 >= 4a`
`-> (a^4 - 2a^2 + 1) + (2a^2 - 4a + 2) >= 0`
`-> (a^2 - 1)^2 + 2(a^2 - 2a + 1) >= 0`
`-> (a^2 - 1)^2 + 2(a - 1)^2 >= 0` `(text{luôn đúng với a, b > 0})`
`d) text{Giả sử:}`
`1/( 1+ a^2) + 1/(1 + b^2) >= 2/(1 + ab)`
`-> (a^2 + b^2 + 2)/((1 + a^2)(1 + b^2)) >= 2/(1 + ab)`
`-> (a^2 + b^2 + 2)(1 + ab) >= 2[(ab)^2 + a^2 + b^2 + 1]`
`-> a^2 + a^{3}b + ab^3 + b^2 + 2 + 2ab >= 2(ab)^2 + 2a^2 + 2b^2 + 2`
`-> a^2 - 2ab + b^2 + [- ab(a^2 + b^2) + 2(ab)^2] <= 0`
`-> (a - b)^2 + [-ab(a^2 - 2ab + b^2)] <= 0`
`-> (a - b)^2 - ab(a - b)^2 <= 0`
`-> (a - b)^{2}.(1 - ab) <= 0`
Vì `ab >= 1`
`-> 1 - ab <= 0`
`-> (a - b)^{2}.(1 - ab) <= 0`
`-> text{Bất đẳng thức được chứng minh}`
