Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bạn tự vẽ hình nha.
$a)$ Do $AB⊥HE$ tại $P$
$⇒∠APE=∠APH=∠BPA=∠BPH=90^o$
Do $AC⊥HF$ tại $Q$
$⇒∠AQH=∠AQF=∠FQC=∠HQC=90^o$
Xét $ΔAPE$ và $ΔAPH$ có:
$AP$ chung
$∠APE=∠APH(cmt)$
$PE=PH(GT)$
$⇒ΔAPE=ΔAPH(đpcm)$ (cạnh - góc - cạnh)
Xét $ΔAQF$ và $ΔAQH$ có:
$AQ$ chung
$∠AQF=∠AQH(cmt)$
$QF=QH(GT)$
$⇒ΔAQF=ΔAQH(đpcm)$ (cạnh - góc - cạnh)
$b)$ Do $ΔABC$ vuông tại $A⇒∠BAC=90^o$
Do $ΔAPE=ΔAPH$ (câu a)
$⇒AE=AH(1)$ ($2$ cạnh tương ứng) và $∠PAE=∠PAH$ ($2$ góc tương ứng)
Do $ΔAQF=ΔAQH$ (câu a)
$⇒AF=AH(2)$ ($2$ cạnh tương ứng) và $∠QAF=∠QAH$ ($2$ góc tương ứng)
Ta có: $∠EAF=∠EAD+∠DAH+∠HAQ+∠QAF$
$=∠DAH+∠DAH+∠HAQ+∠HAQ$
$=2(∠DAH+∠HAQ)=2∠BAC=2.90^o=180^o$
$⇒E,A,F$ thẳng hàng (đpcm)
Từ $(1);(2)⇒AE=AF⇒A$ là trung điểm $EF(đpcm)$
$c)$ Xét $ΔABC$ vuông tại $A$
$⇒∠ABC+∠ACB=90^o$
Xét $ΔEBP$ và $ΔHBP$ có:
$BP$ chung
$∠BPA=∠BPH=90^o$ (câu a)
$EP=HP(GT)$
$⇒ΔEBP=ΔHBP$ (cạnh - góc - cạnh)
$⇒∠EBP=∠HBP=∠ABC$ ($2$ góc tương ứng)
Xét $ΔFQC$ và $ΔHQC$ có:
$QC$ chung
$∠FQC=∠HQC=90^o$ (câu a)
$FQ=HQ(GT)$
$⇒ΔFQC=ΔHQC$ (cạnh - góc - cạnh)
$⇒∠FCQ=∠HCQ=∠ACB$ ($2$ góc tương ứng)
Ta có: $∠EBC+∠BCF=∠EBP+∠HBP+∠FCQ+∠HCQ$
$=∠ABC+∠ABC+∠ACB+∠ACB$
$=2(∠ABC+∠ACB)=2.90^o=180^o$
Mà $2$ góc này nằm ở vị trí trong cùng phía
$⇒EB//FC$ (đpcm)
