Đáp án:
$\begin{cases}x=1\\y=1\\\end{cases}$
Giải thích các bước giải:
$4^{x}-1=3^{y}$
$↔2^{2x}-1=3^{y}$
$↔(2^{x}-1)(2^{x}+1)=3^{y}$
$\text{thử}$ $\begin{cases}x=0\\y=0\\\end{cases}$ $\text{ta có}$
$\begin{cases}VT=4^{0}=1\\VP=3^{0}+1=2\\\end{cases}$
$\text{→trường hợp này loại}$
$\text{vậy x,y nguyên dương}$
$→2^{x}-1 \text{và} 2^{x}+1 \text{là lũy thừa của 3}$
$\text{đặt} \begin{cases}2^{x}+1=3^{m}\\2^{x}-1=3^{n}\\m+n=3\\\end{cases}(m,n in N,m>n)$
$↔3^{m}-3^{n}=2$
$↔3^{n}(3^{m-n}-1)=0$
$↔\begin{cases}3^{n}=1(do 3^{n}>0)\\3^{m-n}-1=2\\\end{cases}$
$↔\begin{cases}n=0\\3^{m-n}=3\\\end{cases}$
$↔\begin{cases}n=0\\m-n=1\\\end{cases}$
$↔\begin{cases}n=0(TM)\\m=1(TM)\\\end{cases}$
$↔\begin{cases}2^{x}-1=1\\2^{x}+1=3\\\end{cases}$
$↔\begin{cases}2^{x}=2\\2^{x}=2\\\end{cases}$
$↔\begin{cases}x=1(TM)\\x=1(TM)\\\end{cases}$
$→x=1$ $\text{thay vào phương trình ta có}$
$4=1+3^{y}$
$↔3^{y}=3$
$↔y=1(TM)$
$\text{vậy} \begin{cases}x=1\\y=1\\\end{cases}$
