$a³+b³+c³=3abc$
$↔a³+b³+c³-3abc=0$
$↔(a³+b³)+c³-3abc=0$
$↔(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc=0$
$↔[(a+b)³+c³]+[-3ab(a+b)-3abc]=0$
$↔(a+b+c)[(a+b)²-c(a+b)+c²]-3ab(a+b+c)=0$
$↔(a+b+c)(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)=0$
$↔(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=0$
Vì $a,b,c>0$
$→a+b+c>0$
$→a²+b²+c²-ab-ac-bc=0$
$↔2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0$
$↔(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=0$
$↔(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0$
mà $\begin{cases}(a-b)²≥0\\(b-c)²≥0\\(a-c)²≥0\end{cases}$
$→\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{cases}$
$↔\begin{cases}a=b\\b=c\\a=c\end{cases}$
$↔a=b=c$ (ĐPCM)
