a) Ta có: $∆ABC$ đều
$\to O$ cũng là trọng tâm $∆ABC$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\to AO =\dfrac23AM$
$\to R = \dfrac23AM$
Ta lại có:
$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$
$\to AM$ là đường cao ứng với cạnh $BC$
$\to AM = AB.\sin60^\circ = 6\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 9\, cm$
$\to R =\dfrac23AM =\dfrac23\cdot 9 = 6\,cm$
b) $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$
$\to O$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$
$\to BO;\,CO$ là phân giác của $\widehat{ABC};\widehat{ACB}$
$\to\widehat{OBC}=\widehat{OCB}=\dfrac12\widehat{ABC}=\dfrac12\widehat{ACB}=30^\circ$
$\to \widehat{BOC}=180^\circ - 2.30^\circ = 120^\circ$
Ta có:
$BD;\, CD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;\, C$
$\to OB\perp BD;\, OC\perp CD$
$\to \widehat{OBD}=\widehat{OCD}=90^\circ$
$\to \widehat{BDC}=360^\circ -(\widehat{OBD}+\widehat{OCD}+\widehat{BOC})$
$\to \widehat{BDC}=360^\circ -(90^\circ +90^\circ + 120^\circ) = 60^\circ$
Mặt khác:
$BD;\, CD$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B;\, C$
$\to DB = DC$
Lại có: $OD= OC= R$
$\to OD$ là trung trực của $BC$
$\to OD\perp BC$
mà $AO\perp BC$ ($∆ABC$ đều)
nên $A, O, D$ thẳng hàng
Bên cạnh đó:
$OD\cap BC=\{I\}$
$\to I\in OD$
$\to A, O, I, D$ thẳng hàng
$\to AI$ là đường kính của $(O)$
$\to AI = 2R = 2.6 = 12\, cm$
