Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
{x^2} - 2\left| x \right| + m - 3 = 0\left( 1 \right)\\
 \Leftrightarrow {\left| x \right|^2} - 2\left| x \right| + m - 3 = 0
\end{array}$

Đặt $t = \left| x \right|\left( {t \ge 0} \right)$

Khi đó:

Phương trình $(1)$ trở thành: ${t^2} - 2t + m - 3 = 0\left( 2 \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 4 - m\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 - m \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
t - 1 = 4 - m\\
t - 1 = m - 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 4\\
\left[ \begin{array}{l}
t = 5 - m\\
t = m - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}$

a) Để $(1)$ có nghiệm

$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm không âm 

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 4\\
\left[ \begin{array}{l}
5 - m \ge 0\\
m - 3 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 4\\
\left[ \begin{array}{l}
m \le 5\\
m \ge 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3 \le m \le 4\\
m \le 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m \le 4
\end{array}$

Vậy $m \le 4$ thỏa mãn

b) Phương trình $(1)$ có đúng $3$ nghiệm

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 4\\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
5 - m = 0\\
m - 3 > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
5 - m > 0\\
m - 3 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 4\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m = 5\\
m > 3
\end{array} \right.\left( {ktm} \right)\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 5\\
m = 3
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m = 3
\end{array}$

Vậy $m=3$ thỏa mãn

c) Phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 4\\
5 - m > 0\\
m - 3 > 0\\
5 - m \ne m - 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 4\\
3 < m < 5\\
m \ne 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow 3 < m < 4
\end{array}$

Vậy $3 < m < 4$ thỏa mãn.