a. Xét `ΔABI` và `ΔADI` có:
`AB=AD` (do cách `AC` lấy điểm D)
`\hat{BAI}=\hat{DAI}` (do `AI` là tia phân giác `\hat{A}`)
` A`I chung
`=>ΔABI=ΔADI (c.g.c)`
`=>BI=DI` (2 cạnh tương ứng)
b.Vì `ΔABI=ΔADI` ( theo câu a)
`=>\hat{ABI}=\hat{ADI}` (2 góc tương ứng)
Lại có: `ABI+IBE=180^o` (2 góc kề bù)
`ADI+IDC=180^o` (2 góc kề bù)
`=>\hat{IBE}={IDC}`
Xét `ΔIBE` và `ΔIDC` có:
` \hat{IBE}=\hat{IDC}`(cmt)
`IB=ID` (câu a)
`\hat{BIE}=\hat{DIC}` (2 góc đối đỉnh)
`=>ΔIBE=ΔIDC (g.c.g)`
c.Vì `ΔIBE=ΔIDC` (câu b)
`=>BE=DC` (2 cạnh tương ứng)
Lại có: `AB=AD` (gt)
`=>AB+BE=AD+DC`
hay `AE=AC`
`=>ΔAEC` cân tại `A`
Trong `ΔAEC` cân tại `A` có:
Đường phân giác `AI `đồng thời là đường cao
`=>AI⊥EC (1)`
Ta có: `AB=AD` (gt)
`=>ΔABD` cân tại `A`
Trong `ΔABD` cân tại `A` có:
Đường phân giác `AI` đồng thời là đường cao
`=>AI⊥BD (2)`
Từ (1) và (2) =>BD//EC (vì cùng ⊥AI)
d.Vì `ΔIBE=ΔIDC` (cm câu b)
`=>\hat{BEI}=\hat{DCI}` (2 góc tương ứng)
và `\hat{BIE}=\hat{DIC}` (2 góc tương ứng)
và `IB=ID` (2 cạnh tương ứng)
Ta có: `\hat{ABC}=\hat{BEI}+\hat{BIE}`
Mà `\hat{BEI}=\hat{DCI}` (cmt)
Và ``\hat{BIE}=\hat{DIC}` (cmt)
`=>\hat{ABC}=\hat{DCI}+\hat{DIC} (3)`
Lại có: `\hat{ABC}=2.\hat{DCI}=\hat{DCI}+\hat{DCI} (4)` (do `\hat{ABC}=hat{ACB}`)
Từ (3) và (4) `=>\hat{DCI}=\hat{DIC}`
`=>ID=DC`
Mà `ID=BI` (cmt)
`=>BI=DC`
Lại có: `AB=AD ` (gt)
`=>AB+BI=AD+DC`
hay `AB+BI=AC`.
