Giải thích các bước giải:
a.Ta có $BE\perp AC\to HE\perp AE$
$\to\Delta AHE$ vuông tại $E$
Mà $O$ là trung điểm $AH$
$\to OE=OA=OH=\dfrac12AH$
$\to OE=OA$
b.Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A, AD\perp BC\to D$ là trung điểm $BC$
Mà $\Delta BEC$ vuông tại $E$
$\to ED=DB=DC=\dfrac12BC$
$\to \Delta DBE$ cân tại $D$
$\to\widehat{DEB}=\widehat{DBE}=\widehat{HBD}=90^o-\widehat{BHD}=90^o-\widehat{AHE}=\widehat{HAE}=\widehat{OAE}=\widehat{OEA}$ vì $OA=OE$
$\to\widehat{OED}=\widehat{OEH}+\widehat{BED}=\widehat{OEH}+\widehat{AEO}=\widehat{AEH}=90^o$
$\to EO\perp ED$
$\to DE$ là tiếp tuyến của $(O,OE)$
c.Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$
$\to IA,IB,ID$ là phân giác $\Delta ABD$
Kẻ $IG\perp AD=G, IF\perp BD=F$
Vì $IK\perp AB=K\to IG=IF=IK=r, AK=AG, BK=BF$
Ta có $AK=AG\to 2AK=AK+AG=(AB-BK)+(AD-GD)=AB+AD-(BK+GD)=AB+AD-(BF+DF)=AB+AD-BD$
$\to AK=\dfrac{AB+AD-BD}{2}$
Tương tự:
$BK=\dfrac{BA+BD-AD}{2}$
$\to AK.BK=\dfrac{AB+AD-BD}{2}.\dfrac{BA+BD-AD}{2}$
$\to AK.BK=\dfrac{(AB+AD-BD)(BA+BD-AD)}{4}$
$\to AK.BK=\dfrac{(AB+(AD-BD))(AB-(AD-BD))}{4}$
$\to AK.BK=\dfrac{AB^2-(AD-BD)^2}{4}$
$\to AK.BK=\dfrac{AB^2-(AD^2-2AD.BD+BD^2)}{4}$
$\to AK.BK=\dfrac{AB^2-(AD^2+BD^2-2AD.BD)}{4}$
$\to AK.BK=\dfrac{AB^2-(AB^2-2AD.BD)}{4}$
$\to AK.BK=\dfrac{2AD.BD}{4}$
$\to AK.BK=\dfrac{AD.BD}{2}$
$\to AK.BK=S_{ABD}$
