Đáp án:
$m=-1$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + {m^2}x + m$ có $y' = 3{x^2} + 6x + {m^2}$
Khi đó:
Đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + {m^2}x + m$ có 2 điểm cực trị
$ \Leftrightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow {3^2} - 3.{m^2} > 0\\
\Leftrightarrow {m^2} < 3\\
\Leftrightarrow - \sqrt 3 < m < \sqrt 3
\end{array}$
Lại có:
Hoành độ trung điểm $I$ của $AB$ là nghiệm của phương trình $y'' = 6x + 6 = 0$
$ \Rightarrow {x_I} = - 1$
Như vậy:
$I \in Ox$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} + {m^2}.\left( { - 1} \right) + m = 0\\
\Leftrightarrow - {m^2} + m + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = - 1(c)\\
m = 2(l)
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $m=-1$
