Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Nhìn vào hình học phẳng:
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\to HA=HB=HC$
$AB=AC=a$ nên $\Delta ABC$ cân tại $A$
$\to AH$ vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác
$\to \widehat{BAH}=\frac{120{}^\circ }{2}=60{}^\circ $
$\to \Delta HAB$ là tam giác đều
$\to AH=AB=a$
Nhờ vào hình học phẳng ta tính được cạnh $AH=a$
Nhìn vào hình học không gian:
Từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với mp$\left( ABC \right)$
Kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SA$ tại $F$ và cắt đường thẳng vuông góc với mp$\left( ABC \right)$ tại $E$
Vì vậy ta có thể thấy rằng $ES=EA=EB=EC$
Hay có thể nói $E$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$
Vì vậy ta tính bán kinh $EA$ là xong bài toán
Ta thấy được rằng $AFEH$ là hình chữ nhật
$\to EA=FH$
$FH=\sqrt{A{{F}^{2}}+A{{H}^{2}}}$ (định lí pitago)
$FH=\sqrt{{{\left( \frac{SA}{2} \right)}^{2}}+A{{H}^{2}}}$
$FH=\sqrt{{{\left( \frac{2a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$
$FH=a\sqrt{2}$
$\to EA=a\sqrt{2}$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là $EA=a\sqrt{2}$
