Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) $3x² + y - 3x = xy - 2$
$ ⇔ 3x² - 3x - xy + y = - 2$
$ ⇔ 3x(x - 1) - y(x - 1) = - 2$
$ ⇔ (x - 1)(3x - y) = - 2$
@ $ \left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\3x - y = 2\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\end{array} \right.$
@ $ \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\3x - y = - 2\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\end{array} \right.$
@ $ \left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 2\\3x - y = 1\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 4\end{array} \right.$
@ $ \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\3x - y = - 1\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 10\end{array} \right.$
2)$A$ là số chính phương $⇔ A = m²(m∈ N)$
$ ⇔ m² = n² + 3n + 7 $
$ ⇔ 4m² = 4n² + 12n + 28$
$ ⇔ 4m² - (4n² + 12n + 9) = 19$
$ ⇔ 4m² - (2n + 3)² = 10$
$ ⇔ (2m + 2n + 3)(2m - 2n - 3) = 19$
$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}2m + 2n + 3 = 19 (1)\\2m - 2n - 3= 1(2)\end{array} \right.$
$ ⇔ \left[ \begin{array}{l}(1) + (2) ⇒ 2m = 20 ⇒ m = 5 \\(1) - (2) ⇒ 4n + 6 = 18 ⇒ n = 3\end{array} \right.$
a) ĐKXĐ $: 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - \dfrac{1}{2}$
$PT ⇔ (x² + 2x + 1) - (2x + 1 + 2\sqrt{2x + 1} + 1) = 0$
$ ⇔ (x + 1)² - (\sqrt{2x + 1} + 1)² = 0$
$ ⇔ (x + 2 + \sqrt{2x + 1})(x - \sqrt{2x + 1}) = 0 (*)$
Vì $ : x ≥ - \dfrac{1}{2} ⇔ x + 2 ≥ 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$
$ ⇒ x + 2 + \sqrt{2x + 1} > 0 ⇒ (*) ⇔$
$ x - \sqrt{2x + 1} = 0 $
$ ⇔ x = \sqrt{2x + 1} $
$ ⇔ x² = 2x + 1 ( x > 0)$
$ ⇔ x² - 2x - 1 = 0$
$ ⇔ x = 1 + \sqrt{2}$ ( loại $x = 1 - \sqrt{2} < 0)$
b) $ a - \sqrt{a} = \sqrt{b} - b ⇔ a + b = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
Áp dụng BĐT $: a² + b² ≥ \dfrac{1}{2}(a + b)²$.
Dấu $"="$ xảy ra khi $a = b$ ta có:
$ P = a² + b² + \dfrac{2020}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})²}$
$ ≥ \dfrac{1}{2}(a + b)² + \dfrac{2020}{(a + b)²}$
$ ≥ 2\sqrt{\frac{1}{2}(a + b)².\dfrac{2020}{(a + b)²}} = 2\sqrt{1010} $ ( cô si)
Vậy $GTNN$ của $P = 2\sqrt{1010}$ xảy ra khi:
$ a = b; \dfrac{1}{2}(a + b)² = \dfrac{2020}{(a + b)²}$
$ ⇔ a = b = \sqrt[4}{\dfrac{505}{2}}$
