Đáp án:

e) \(\left[ \begin{array}{l}
x = 9\\
x = 4\\
x = 0
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)Q = \dfrac{{3x + 3\sqrt x  - 3 - \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{3x + 3\sqrt x  - 3 - x + 1 - x + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\\
b)Thay:x = 4 + 2\sqrt 3  = 3 + 2\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}\\
 \to Q = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  + 1}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  - 1}} = \dfrac{{\sqrt 3  + 1 + 1}}{{\sqrt 3  + 1 - 1}} = \dfrac{{\sqrt 3  + 2}}{{\sqrt 3 }}\\
c)Q = 3\\
 \to \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = 3\\
 \to \sqrt x  + 1 = 3\sqrt x  - 3\\
 \to 2\sqrt x  = 4\\
 \to \sqrt x  = 2\\
 \to x = 4\\
d)Q > \dfrac{1}{2}\\
 \to \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} > \dfrac{1}{2}\\
 \to \dfrac{{2\sqrt x  + 2 - \sqrt x  + 1}}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} > 0\\
 \to \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} > 0\\
 \to \sqrt x  - 1 > 0\left( {do:\sqrt x  + 3 > 0\forall x \ge 0} \right)\\
 \to x > 1\\
e)Q = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{{\sqrt x  - 1 + 2}}{{\sqrt x  - 1}} = 1 + \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}\\
Q \in Z\\
 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}} \in Z\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 \in U\left( 2 \right)\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x  - 1 = 2\\
\sqrt x  - 1 =  - 2\left( l \right)\\
\sqrt x  - 1 = 1\\
\sqrt x  - 1 =  - 1
\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}
x = 9\\
x = 4\\
x = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

a) Q= $\frac{3x+\sqrt[]{9x}-3}{x+\sqrt[]{x}-2}$ -$\frac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+2}$ +$\frac{\sqrt[]{x}-2}{1-\sqrt[]{x}}$ 

= $\frac{3x+\sqrt[]{9x}-3}{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}$-  $\frac{(\sqrt[]{x}+1)(\sqrt[]{x}-1)}{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}$- $\frac{(\sqrt[]{x}-2)(\sqrt[]{x}+2)}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+2)}$

=$\frac{3x+\sqrt[]{9x}-3-x+1-x+4}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+2)}$ 

=$\frac{x+3\sqrt[]{x}+2}{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}$ 

=$\frac{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}+1)}{(\sqrt[]{x}+2)(\sqrt[]{x}-1)}$ 

=$\frac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1}$ 

b ) Thay x = 4+2$\sqrt[]{3}$ vào Q
Q= $\frac{\sqrt[]{4+2\sqrt[]{3}}+1}{\sqrt[]{4+2\sqrt[]{3}}-1}$ 

= $\frac{\sqrt[]{(1+\sqrt[]{3})^2}+1}{\sqrt[]{(1+\sqrt[]{3})^2}-1}$ 

=$\frac{1+\sqrt[]{3}+1}{1+\sqrt[]{3}-1}$ 

=$\frac{3+2\sqrt[]{3}}{3}$ 

c) Để Q=3

⇔ $\frac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1}$ =3

⇔ $\sqrt[]{x}$+1=3($\sqrt[]{x}$-1)  

⇔ $\sqrt[]{x}$-3$\sqrt[]{x}$=-3-1  

⇔ -2$\sqrt[]{x}$ =-4

⇔ $\sqrt[]{x}$=2 

⇔ x= 4

d) Làm tương tự phần c nha

e) Với x≥0, x$\neq$ 1

Ta có: $\frac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1}$  = 1+$\frac{2}{\sqrt[]{x}-1}$ 

Để Q nguyên ⇔ $\sqrt[]{x}$ - 1 ∈ Ư(2)={±1;±2}

Lập bảng giá trị

$\sqrt[]{x}$ - 1          -1                         1                     -2                    2

$\sqrt[]{x}$                 0                         2                      -1(L)               3

x                                   0 (TM)               4(TM)                                     9 (TM)

Vậy để Q nguyên thì x ∈ { 0;4;9}...