Giải thích các bước giải:
ĐK: $a,b,c>0$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\\
= \left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt b }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt c }}} \right)}^2}} \right)\\
\ge {\left( {\sqrt a .\dfrac{1}{{\sqrt a }} + \sqrt b .\dfrac{1}{{\sqrt b }} + \sqrt c .\dfrac{1}{{\sqrt c }}} \right)^2}\left( {BDT:Bunhiacopski} \right)\\
= {\left( {1 + 1 + 1} \right)^2}\\
= 9\\
\Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 9\\
\Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\dfrac{1}{{\sqrt a }}}} = \dfrac{{\sqrt b }}{{\dfrac{1}{{\sqrt b }}}} = \dfrac{{\sqrt c }}{{\dfrac{1}{{\sqrt c }}}}\\
\Leftrightarrow a = b = c
\end{array}$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
